統計ポアソン分布 - チャポケのブログ

ポアソン分布とは
ポアソン分布の確率
ポアソン分布の期待値・分散
ポアソン分布の様子

ポアソン分布とは

確率 $p$ のベルヌーイ試行を $n$ 回行うとき、「成功」する回数 $X$ は二項分布 $B(n,p)$ に従う。
二項分布のパラメータは確率 $p$ 、試行回数 $n$ 回であるが、
この２つのパラメータの代わりに、１つのパラメータ $\lambda = np$ を用いて、
「成功」する回数 $X$ を確率変数 $X$ とする確率分布をポアソン分布 $Po(\lambda)$ という。

ここでは、パラメータ $\lambda = np$ を一定に保ったまま $n \to \infty$ として、
「微小期間に確率 $p$ のベルヌーイ試行を行う」ことを、 $n$ 回(無限回)連続して行っていると考えるとよい。

そうすると、ポアソン分布 $Po(\lambda)$ とは、
「ある期間における事象が起こる平均回数 $\lambda$ 」をパラメータとして与えたとき、
実際にある期間に事象が起こる回数 $X$ を確率変数 $X$ とする確率分布であると、いえる。

例で考える例があったほうが理解しやすいので、次のような例を考える。
「１時間に雷が3.6回落ちる天気のときに、実際に１時間の間に雷が $X$ 回落ちる確率は」
ここで、ポアソン分布のパラメータは $\lambda = 3.6$ で、ある期間は1時間となっている。

この例は、次のように少しずつ解釈を変形できる。
「60分間に雷が3.6回落ちる天気のときに、実際に１時間の間に雷が $X$ 回落ちる確率は」
「1分間に雷が0.06(=3.6/60)回落ちる天気のときに、実際に60分間の間に雷が $X$ 回落ちる確率は」
「1分間に雷が1回落ちる確率が0.06である天気を、60回繰り返した場合に雷が $X$ 回落ちる確率は」
「確率 $p=0.06$ のベルヌーイ試行を $n=60$ 回行うとき、成功する回数が $X$ 回である確率は」
ここで、ポアソン分布のパラメータは $\lambda = np = 0.06 \times 60 = 3.6$ となる。

また、次のようにも解釈を変形できる。
「1秒間に雷が1回落ちる確率が0.001(=0.06/60)である天気を、3600回繰り返した場合に雷が $X$ 回落ちる確率は」
「確率 $p=0.001$ のベルヌーイ試行を $n=3600$ 回行うとき、成功する回数が $X$ 回である確率は」
ここで、ポアソン分布のパラメータは $\lambda = np = 0.001 \times 3600 = 3.6$ となる。

上記を見ると、パラメータ $\lambda = np$ を一定に保ったまま $n \to \infty$ としても、
同様に解釈を変形できることがわかると思う。

$\lambda = 3.6$ のポアソン分布の確率分布は次のようになるので、
実際に１時間の間に雷が3回落ちる確率は21%程度になる。
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ポアソン分布の確率

ポアソン分布 $Po(\lambda)$ の確率 $P(X)$ は、次のようになる。

$\begin{aligned} P(X=k)&= \frac{e^{-\lambda}\lambda^k}{k!} \ \ \ (k=0,1,2,\cdots) \end{aligned}$

これの導出は次の通り。
二項分布 $B(n,p)$ の確率 $P(X)$ の式に、 $p=\frac{\lambda}{n}$ を代入して、 $n \to \infty$ とする。

$\begin{aligned} P(X=k)&= \lim_{n \to \infty} {}_nC_kp^k(1-p)^{n-k} \\ &= \lim_{n \to \infty} \frac{n!}{k!(n-k)!} \left( \frac{\lambda}{n} \right)^k \left( 1-\frac{\lambda}{n} \right)^{n-k} \\ &= \lim_{n \to \infty} \frac{\lambda^k}{k!} \left( 1-\frac{\lambda}{n} \right)^n \left( 1-\frac{\lambda}{n} \right)^{-k} \frac{n!}{(n-k)! n^k} \\ &= e^{-\lambda} \frac{\lambda^k}{k!} \end{aligned}$

ただし、最後の式変形で、次の①②③を用いた。
①

$\begin{aligned} \lim_{n \to \infty} \left( 1-\frac{\lambda}{n} \right)^n &= \lim_{n \to \infty} \left( 1+ (-\frac{\lambda}{n}) \right)^{(-\frac{n}{\lambda})(-\lambda)} \\ &= \lim_{t \to 0} \left( 1+t \right)^{(\frac{1}{t})(-\lambda)} \\ &\downarrow \ \ \ e = \lim_{t \to 0} \left( 1 + t \right)^{\frac{1}{t}} \ \ \ ネイピア数の定義式 \\ &= e^{-\lambda} \end{aligned}$

②

$\begin{aligned} \lim_{n \to \infty} \left( 1-\frac{\lambda}{n} \right)^{-k} = \left( 1-0 \right)^{-k} = 1 \end{aligned}$

③

$\begin{aligned} \lim_{n \to \infty} \frac{n!}{(n-k)! n^k} &= \lim_{n \to \infty} \frac{n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdots (n-(k-1)) }{n^k} \\ &= \lim_{n \to \infty} \frac{n}{n} \cdot \frac{n-1}{n} \cdot \frac{n-2}{n} \cdots \frac{n-(k-1)}{n} \\ &= \lim_{n \to \infty} 1 \cdot (1-\frac{1}{n}) \cdot (1-\frac{2}{n}) \cdots (1-\frac{k-1}{n}) \\ &= 1 \end{aligned}$

ポアソン分布の期待値・分散

ポアソン分布 $Po(\lambda)$ の期待値 $E(X)$ と、分散 $V(X)$ は、次のようになる。

$\begin{aligned} E(X) &= \lambda \\ V(X) &= \lambda \end{aligned}$

これの導出は次の通り。
二項分布 $B(n,p)$ の期待値 $E(X)$ と、分散 $V(X)$ は、

$\begin{aligned} E(X) &= np \\ V(X) &= np(1-p) \end{aligned}$

である。
ここで、 $np=\lambda$ を一定に保ったまま、 $n \to \infty$ としたものがポアソン分布 $Po(\lambda)$ なので、
$p=\frac{\lambda}{n}$ を代入して、 $n \to \infty$ としてみると、

$\begin{aligned} E(X) &= \lim_{n \to \infty} n \frac{\lambda}{n} = \lambda \\ V(X) &= \lim_{n \to \infty} n \frac{\lambda}{n} (1-\frac{\lambda}{n}) = \lambda \end{aligned}$

と、ポアソン分布 $Po(\lambda)$ の期待値 $E(X)$ と、分散 $V(X)$ を求めることができる。

ポアソン分布の様子

ポアソン分布 $Po(\lambda)$ の確率分布は、パラメータ $\lambda$ を変化させて比較すると次のようになる。