統計幾何分布 - チャポケのブログ

幾何分布とは
幾何分布の期待値・分散
幾何分布の様子

幾何分布とは

幾何分布とは、確率 $p$ のベルヌーイ試行を繰り返し行って、
初めて成功するまでの試行回数 $X$ を確率変数 $X$ とする確率分布のこと。

幾何分布の確率 $P(X)$ は、次のようになる。

$\begin{aligned} P(X=k) &= (1 - p)^{k-1} p \ \ \ (k=1,2,3,\cdots) \end{aligned}$

これの導出は次の通り。
1回目,2回目,…, $k-1$ 回目まで「失敗」し続ける確率は、 $(1-p)^{k-1}$ となる。
k回目でようやく「成功」するので、これに $p$ を乗算して、幾何分布の確率が求まる。

幾何分布の期待値・分散

幾何分布の期待値 $E(X)$ と、分散 $V(X)$ は、次のようになる。

$\begin{aligned} E(X) &= \frac{1}{p} \\ V(X) &= \frac{1-p}{p^2} \end{aligned}$

期待値 $E(X)$ の導出は次の通り。

$\begin{aligned} E(X) = \sum_{k=1}^{\infty} k \cdot P(k) &= \sum_{k=1}^{\infty} k \cdot (1 - p)^{k-1} p \\ &= p \sum_{k=1}^{\infty} k (1 - p)^{k-1} \\ &= p \frac{1}{p^2} = \frac{1}{p} \end{aligned}$

但し、最後の式変形で、下記の式①を用いた。

分散 $V(X)$ の導出は次の通り。

$\begin{aligned} V(X) &= E(X^2) - E(X)^2 \\ &= E(X(X-1)) + E(X) - E(X)^2 \\ &= \sum_{k=1}^{\infty} k(k-1) \cdot P(k) + E(X) - E(X)^2 \\ &= \sum_{k=1}^{\infty} k(k-1) \cdot (1 - p)^{k-1} p + E(X) - E(X)^2 \\ &= p(1 - p) \sum_{k=1}^{\infty} k(k-1)(1 - p)^{k-2} + E(X) - E(X)^2 \\ &= p(1 - p) \sum_{k=2}^{\infty} k(k-1)(1 - p)^{k-2} + E(X) - E(X)^2 \\ &= p(1 - p) \frac{2}{p^3} + \frac{1}{p} - \frac{1}{p^2} = \frac{1-p}{p^2} \end{aligned}$

但し、最後の式変形で、下記の式②を用いた。

次の恒等式

$\begin{aligned} \frac{1}{1-x} &= 1 + x + x^2 + \cdots = \sum_{k=0}^{\infty} x^k \end{aligned}$

を、 $x$ で1回微分したものと、2回微分したものは、次になる。

$\begin{aligned} \frac{1}{(1-x)^2} &= \sum_{k=1}^{\infty} k x^{k-1} \\ \frac{2}{(1-x)^3} &= \sum_{k=2}^{\infty} k(k-1) x^{k-2} \\ \end{aligned}$

この２つにそれぞれ $x=1-p$ を代入すると、次になる。

$\begin{aligned} \frac{1}{p^2} &= \sum_{k=1}^{\infty} k (1-p)^{k-1} \ \ \ \cdots ① \\ \frac{2}{p^3} &= \sum_{k=2}^{\infty} k(k-1) (1-p)^{k-2} \ \ \ \cdots ② \\ \end{aligned}$

幾何分布の様子

幾何分布の確率分布は、パラメータ $p$ を変化させて比較すると次のようになる。