統計二項分布 - チャポケのブログ

ベルヌーイ試行
二項分布

ベルヌーイ試行

ベルヌーイ試行とは、起こる結果が「成功」又は「失敗」の２つしかない試行のこと。
確率変数 $X=1$ は「成功」、 $X=0$ は「失敗」を示すとして、「成功」の確率を $p$ とすると、
ベルヌーイ試行の確率 $P(X)$ は、次のように表すことができる。

$X$	$0$ (失敗)	$1$ (成功)
$P(X)$	$1-p$	$p$

期待値 $E(X)$ と、分散 $V(X)$ は、次のようになる。

$\begin{aligned} E(X)&=p \\ V(X)&=p(1-p) \end{aligned}$

これの導出は次の通り。

$\begin{aligned} E(X) &= 0 \cdot (1-p) + 1 \cdot p \\ &= p \\ V(X) &= (0-p)^2 \cdot (1-p) + (1-p)^2 \cdot p \\ &= p(1-p) \end{aligned}$

二項分布

二項分布 $B(n,p)$ とは、確率 $p$ のベルヌーイ試行を $n$ 回行って、成功する回数 $X$ を確率変数 $X$ とする確率分布のこと。
二項分布 $B(n,p)$ の確率 $P(X)$ は、次のように表すことができる。

$\begin{aligned} P(X=k)&={}_nC_kp^k(1-p)^{n-k} \ \ \ (k=0,1,2,\cdots,n) \end{aligned}$

期待値 $E(X)$ と、分散 $V(X)$ は、次のようになる。

$\begin{aligned} E(X)&=np \\ V(X)&=np(1-p) \end{aligned}$

これの導出は次の通り。
一般に「確率変数の和の期待値は、それぞれの期待値の和になる $E(X+Y)=E(X)+E(Y)$ 」ので、
二項分布の期待値は、ベルヌーイ試行の期待値 $p$ を $n$ 回足したものになる為。

一般に「独立な確率変数の和の分散は、それぞれの分散の和になる $V(X+Y)=V(X)+V(Y)$ 」ので、
二項分布の分散は、ベルヌーイ試行の分散 $p(1-p)$ を $n$ 回足したものになる為。

例えば、 $n=10, \ p=0.5$ の二項分布の確率分布は次のようになる。