統計確率変数の期待値・分散 - チャポケのブログ

離散型確率変数の期待値・分散
連続型確率変数の期待値・分散

離散型確率変数の期待値・分散

離散型確率変数 $X$ と、その値をとる確率 $P(X)$ が、次の表のような確率分布をなす場合、
確率変数 $X$ の期待値 $E(X)$ と、分散 $V(X)$ は次のようになる。

$X$	$x_1$	$x_2$	$\cdots$	$x_{n-1}$	$x_n$
$P(X)$	$p_1$	$p_2$	$\cdots$	$p_{n-1}$	$p_n$

$\begin{aligned} E(X)&=\sum_{i=1}^nx_ip_i \\ V(X)&=\sum_{i=1}^n(x_i-\mu)^2p_i \ \ \ \ ※但し、\mu=E(X) \end{aligned}$

連続型確率変数の期待値・分散

連続型確率変数 $X$ についての確率分布が確率密度関数 $f(x)$ で表せられる場合、
$a \leq X \leq b$ の範囲の値をとる確率 $P(a \leq X \leq b)$ 、
確率変数 $X$ の期待値 $E(X)$ と、分散 $V(X)$ は次のようになる。

$\begin{aligned} P(a \leq X \leq b) &= \int_a^b f(x) dx \\ E(X)&=\int_{-\infty}^{\infty} x f(x) dx \\ V(X)&=\int_{-\infty}^{\infty} (x-\mu)^2 f(x) dx \ \ \ \ ※但し、\mu=E(X) \end{aligned}$