統計正規分布 - チャポケのブログ

正規分布
標準正規分布
正規分布の標準化
偏差値

正規分布

連続型確率変数 $X$ が、平均 $\mu$ 、分散 $\sigma ^2$ の正規分布 $N(\mu, \sigma ^2)$ に従う場合、
確率密度関数 $f(x)$ は次式のようになる。

$\begin{aligned} f(x) &= \frac{1}{\sqrt{2 \pi \sigma^2}} \exp \left\{- \frac{(x - \mu)^2}{2 \sigma^2} \right\} \ \ \ \ \ (-\infty < x < \infty) \end{aligned}$

例えば、平均 $\mu = 60$ 、標準偏差 $\sigma = 5, 10, 20$ の正規分布は、次のようなグラフなる。

標準正規分布

平均 $\mu = 0$ 、分散 ${\sigma}^2 = 1$ である標準正規分布 $N(0, 1)$ の
確率密度関数 $f(x)$ は次式のようになる。

$\begin{aligned} f(x) &= \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \exp \left\{- \frac{x^2}{2} \right\} \ \ \ \ \ (-\infty < x < \infty) \end{aligned}$

グラフは次のようになる。

正規分布の標準化

確率変数 $X$ が、平均 $\mu$ 、分散 $\sigma ^2$ の正規分布 $N(\mu, \sigma ^2)$ に従う場合、

$\begin{aligned} Y &= \frac{X - \mu}{\sigma} \end{aligned}$

の変数 $Y$ を求めると、変数 $Y$ は平均 $\mu = 0$ 、標準偏差 ${\sigma} = 1$ の標準正規分布に従う。
このような変換を、正規分布の標準化という。

正規分布の標準化を行うと、標準正規分布表を用いることができるようになる。

偏差値

確率変数 $X$ が、平均 $\mu$ 、分散 $\sigma ^2$ の正規分布 $N(\mu, \sigma ^2)$ に従う場合、

$\begin{aligned} Z &= \frac{X - \mu}{\sigma} \times 10 + 50 \end{aligned}$

の変数 $Z$ を求めると、変数 $Z$ は平均 $\mu = 50$ 、標準偏差 ${\sigma} = 10$ の正規分布に従う。
このようにして求めた変数 $Z$ は、偏差値という。

テストの点数から偏差値を求めることがよくある。これは、テストの作り方によって平均値と分散が異なるから、テストの点数で出来不出来を判断するより、偏差値で判断した方が、実態を適切に評価できるためである。

偏差値	最上位からの割合
80	0.13%
70	2.28%
60	15.87%
50	50.00%
40	84.13%
30	97.72%
20	99.87%