統計平均・分散・標準偏差など

代表値
ばらつき量
その他
- 歪度（わいど）
- 尖度（せんど）

代表値

平均（算術平均、相加平均）

算術平均 $\overline{x}$ は、n個のデータの総和を、nで割ったもの。

$\displaystyle{ \overline{x} =\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_i= \frac{1}{n}\left(x_1+x_2+\cdots+x_n\right) }$

幾何平均（相乗平均）

幾何平均 $\overline{x}_G$ は、n個のデータの総乗(総積)を、n乗根したもの。

$\displaystyle{ \overline{x}_G =\left(\prod_{i=1}^{n}x_i\right)^{1/n}= \left(x_1\times x_2\times\cdots\times x_n\right)^{1/n} }$

調和平均

調和平均 $\overline{x}_H$ の逆数は、逆数の算術平均を取ったもの。

$\begin{aligned} \frac{1}{\overline{x}_H} &=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{x_i}= \frac{1}{n}\left(\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\cdots+\frac{1}{x_n}\right) \\ \\ \overline{x}_H&=\frac{n}{\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{x_i}}=\frac{n}{\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\cdots+\frac{1}{x_n}} \end{aligned}$

中央値（メジアン）

中央値は、n個のデータを小さい順に並べたときの真ん中に来る値のこと。

最頻値（モード）

最頻値は、最もデータ数の多い値のこと。

ばらつき量

分散

分散 $V$ は、「各データと平均値の差」を2乗したものの平均のこと。

$\begin{aligned} V=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\overline{x})^{2} \end{aligned}$

分散 $V$ は、別の求め方として、次のように「二乗の平均」から「平均の二乗」を引く方法がある。

$\begin{aligned} V=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_i^2 - \left(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_i\right)^{2} \end{aligned}$

これの証明は次の通り。

$\begin{aligned} V&=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\overline{x})^{2} \\ &=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_i^2-2\overline{x}x_i+\overline{x}^2) \\ &=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_i^2)-2\overline{x}\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_i)+\overline{x}^2 \\ &=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_i^2)-2\overline{x}^2+\overline{x}^2 \\ &=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_i^2)-\overline{x}^2 \end{aligned}$